本記事ではbase64のエンコードの流れを記載。
最後の方にあるC#コードは、何かの参考になればと載せているだけなので、きちんと動くかはまた微妙。
base64のエンコードの流れは以下の通り。

1. 元の文字列(abcd)をバイト型に変換
2. バイト型から2進数に変換し、8桁になるように前0を埋め、すべて結合
3. 2進数を6文字ごとに区切り、6文字になるように後ろに0を埋める
4. 専用の変換表から、2進数を文字列に変換する
5. 文字列の長さが4の倍数になるように、後ろに=を詰める

図にすると以下の通り。
次からはC#コードを載せています。流れが分かりやすいように冗長的に書いています。テキトーにコピペしてみてもある程度動くと思います。

/** 

 * 1.元の文字列(abcd)をバイト型に変換

 *	(abcd)

 *		-> (0x61, 0x62, 0x63, 0x64)

 */

// 元の文字列をバイト型に変換

Byte[] bytes = System.Text.Encoding.UTF8.GetBytes(pTxt);

pTxtが変換元文字列

/** 

 * 2.バイト型から2進数に変換し、8桁になるように前0を埋め、すべて結合

 *	(0x61, 0x62, 0x63)

 *		-> (1100001, 1100010, 1100011, 1100100) 

 *		-> (01100001, 01100010, 01100011, 01100100)

 *		-> (01100001011000100110001101100100)

 */

String unionBinaryNumTxt = "";

foreach (Byte b in bytes)

{

	// バイト型から2進数に変換

	String binaryNumTxt = Convert.ToString(b, 2);



	// 8桁になるように前0を埋める

	String paddingBinaryNumTxt = binaryNumTxt.PadLeft(8, '0');



	// 結合

	unionBinaryNumTxt += paddingBinaryNumTxt;

}

/** 

 * 3.2進数を6文字ごとに区切り、6文字になるように後ろに0を埋める

 *	(01100001011000100110001101100100)

 *		-> (011000, 010110, 001001, 100011, 011001, 00)

 *		-> (011000, 010110, 001001, 100011, 011001, 000000)

 */

int splitNumber = 6;

List split6TxtList = new List();

for(int i = 0;true;i++)

{

	if (unionBinaryNumTxt.Length <= i * splitNumber)	// 最後まで区切ったら終了

	{

		break;

	}



	// 2進数を6文字ごとに区切る

	String split6Txt = "";

	if (unionBinaryNumTxt.Length < (i + 1) * splitNumber)

	{

		split6Txt = unionBinaryNumTxt.Substring(i * splitNumber, unionBinaryNumTxt.Length % splitNumber);

	} else {

		split6Txt = unionBinaryNumTxt.Substring(i * splitNumber, splitNumber);

	}



	// 6文字になるように後ろに0を埋める

	String paddingSplit6Txt = split6Txt.PadRight(splitNumber, '0');

	split6TxtList.Add(paddingSplit6Txt);

}

/** 

 * 4.専用の変換表から、2進数を文字列に変換する

 *	(011000, 010110, 001001, 100011, 011001, 000000)

 *		-> (Y, W, J, j, Z, A)

 *		-> (YWJjZA)

 */

// 専用の変換表を定義

IDictionary cTable = new Dictionary()

{

	{"000000", "A"},

	{"000001", "B"},

	{"000010", "C"},

	{"000011", "D"},

	{"000100", "E"},

	{"000101", "F"},

	{"000110", "G"},

	{"000111", "H"},

	{"001000", "I"},

	{"001001", "J"},

	{"001010", "K"},

	{"001011", "L"},

	{"001100", "M"},

	{"001101", "N"},

	{"001110", "O"},

	{"001111", "P"},

	{"010000", "Q"},

	{"010001", "R"},

	{"010010", "S"},

	{"010011", "T"},

	{"010100", "U"},

	{"010101", "V"},

	{"010110", "W"},

	{"010111", "X"},

	{"011000", "Y"},

	{"011001", "Z"},

	{"011010", "a"},

	{"011011", "b"},

	{"011100", "c"},

	{"011101", "d"},

	{"011110", "e"},

	{"011111", "f"},

	{"100000", "g"},

	{"100001", "h"},

	{"100010", "i"},

	{"100011", "j"},

	{"100100", "k"},

	{"100101", "l"},

	{"100110", "m"},

	{"100111", "n"},

	{"101000", "o"},

	{"101001", "p"},

	{"101010", "q"},

	{"101011", "r"},

	{"101100", "s"},

	{"101101", "t"},

	{"101110", "u"},

	{"101111", "v"},

	{"110000", "w"},

	{"110001", "x"},

	{"110010", "y"},

	{"110011", "z"},

	{"110100", "0"},

	{"110101", "1"},

	{"110110", "2"},

	{"110111", "3"},

	{"111000", "4"},

	{"111001", "5"},

	{"111010", "6"},

	{"111011", "7"},

	{"111100", "8"},

	{"111101", "9"},

	{"111110", "+"},

	{"111111", "/"}

};



// 2進数を文字列に変換する

String base64Txt = "";

foreach (String split6Txt in split6TxtList) {

	base64Txt += cTable[split6Txt];

}

/** 

 * 5.文字列の長さが4の倍数になるように、後ろに=を詰める

 *	(YWJjZA)

 *		-> (YWJjZA==)

 */

String paddingBase64Txt = base64Txt;

if (base64Txt.Length % 4 != 0)

{

	paddingBase64Txt = base64Txt.PadRight(base64Txt.Length + (4 - base64Txt.Length % 4), '=');

}

paddingBase64Txtがbase64エンコードの最終結果文字列